课程编号：A301013
学 分：2.5
总 学 时：40 讲课学时：40
适用专业：专转本各专业
先修课程：高中数学课程、专科数学课程
一.课程的性质与目的
《高等数学》是工科院校本科各专业学生的一门必修的重要的基础理论课程。通过本课程的学习，要使学生系统地获得微积分（包括向量代数、空间解析几何和常微分方程）的基本概念，必要的基础理论和常用的运算方法。在传授知识的同时，要通过各个教学环节逐步培养学生具有比较熟练的运算能力，抽象思维能力，逻辑推理能力，几何直观和空间想象能力以及自学能力。使学生受到数学分析的基本概念、理论和方法以及应用数学这些概念、理论、方法解决几何、物理及其它实际问题的初步训练，以提高抽象概括问题的能力和综合运用知识分析解决问题的能力，同时为学习后继课程以及将来进一步自学数学奠定必要的基础。
专转本学生有专科的高等数学基础，本课程是在此基础上逐一补缺，使学生达到《高等数学（工）》课程教学大纲的要求。
二.课程内容与教学要求
（—）极限与连续
基本要求：
（1）理解极限的概念；
（2）掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限；
（3）会用等价无穷小替换求极限；
（4）会用介值定理讨论方程根的存在性。
重点：极限概念。
难点：极限的定义。
（二）一元函数微分学
基本要求：
（1）理解导数和微分的概念及其几何意义，了解函数的可导性和连续性的关系；
（2）了解一阶微分形式的不变性；
（3）会求分段函数的导数，会用莱布尼茨公式求简单函数乘积的 阶导数；
（4）会求隐函数和参数式所确定的函数的二阶导数；
（5）理解并会应用罗尔定理，拉格朗日定理，了解柯西中值定理；
（6）熟练掌握利用罗必达法则求未定式极限的方法；
（7）理解并会用泰勒定理，掌握 、 、 、 、 的麦克劳林公式；
（8）了解曲率和曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径；
重点：1．导数、微分的概念；2．拉格朗日中值定理、泰勒公式、罗必达法则。
难点：拉格朗日中值定理、泰勒公式。
（三）—元函数积分学
基本要求：
（1）理解原函数、不定积分和定积分的概念及性质；
（2）会求简单有理函数、简单的三角函数有理式和简单无理函数的积分；
（3）理解变上限的定积分作为其上限的函数及其求导定理；
（4）熟练掌握用微元法来建立一些常用的几何量和物理量（功、引力、压力）的定积分表达式，从而求出这些量的方法；
（5）理解两类反常积分的概念，会计算一些简单的反常积分。
重点：1．定积分的概念；2．变上限的定积分作为上限的函数及其求导定理；3．微元法。
难点：定积分的概念，变上限的定积分作为上限的函数及其求导定理，微元法。
（四）常微分方程
基本要求：
（1）理解微分方程的解、通解、初始条件和特解等基本概念；
（2）掌握—阶齐次方程和贝努里方程的识别和解法；
（3）掌握用降阶法求解 、 、 类型的方程；
（4）理解线性微分方程解的性质及解的结构定理；
（5）掌握二阶常系数线性齐次及非齐次方程的解法；并知道高阶常系数齐次线性微分方程的解法；
（6）了解欧拉方程及其解法；
重点：微分方程的概念、通解、特解，线性微分方程解的结构，二阶常系数线性方程的解法。
（五）无穷级数
基本要求：
（1）会正项级数的根值审敛法；
（2）理解无穷级数的绝对收敛和条件收敛的概念，知道任意项级数的审敛步骤；
（3）理解函数项级数收敛域及和函数的概念，了解幂级数在其收敛区间内的基本性质；
（4）会求一些幂级数的和函数，并会由此求出某些数项级数的和；
（5）掌握 、 、 、 、 的麦克劳林展开式，会用间接法将一些简单函数展成幂级数；
（6）了解傅里叶级数的概念和狄利克雷收敛定理，会将定义在 上的函数展成傅里叶级数，会将定义在 上的函数展为正弦级数与余弦级数，会写出傅里叶级数的和的表达式。
重点：1.泰勒级数，函数的幂级数展开；2.傅里叶级数，函数展成正弦级数或余弦级数。
难点：用间接法将函数展为幂级数。
（六）向量代数与空间解析几何
基本要求：
（1）熟练掌握向量的运算（混合积）；
（2）理解曲面方程的概念，知道常用二次曲而的标准方程及其图形；
（3）掌握以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程；
（4）了解空间曲线的一般式方程和参数式方程，了解空间曲线在坐标面上的投影，并会求其方程。
重点： 曲面方程的概念，空间曲线的一般式方程和参数式方程。
（七）多元函数微分学
基本要求：
（1）理解点集、邻域、区域及多元函数的概念；
（2）了解全微分存在的必要条件和充分条件，理解方向导数与梯度的概念；
（3）熟练掌握复合函数和隐函数的求导法则，掌握求高阶偏导数的方法，掌握方向导数和梯度的求法；
（4）掌握空间曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的求法；
（5）理解多元函数的极值和条件极值的概念，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值并会解决一些简单的应用问题。
重点：多元复合函数和隐函数偏导数的计算，拉格朗日乘数法。
难点：复合函数的高阶偏导数。
（八）多元函数积分学
基本要求：
（1）理解二重积分、三重积分、两类曲线积分、两类曲面积分的概念和性质；
（2）掌握二重积分的计算方法（直角坐标、极坐标）；
（3）三重积分的计算法（直角坐标、柱坐标、球坐标）；
（4）掌握两类曲线积分和两类曲面积分的计算法；
（5）掌握格林公式并会运用平面曲线积分与路径无关的条件，会求全微分的原函数；
（6）掌握高斯公式并会利用它计算曲面积分，知道斯托克斯公式；
（6）会运用重积分、曲线积分及曲面积分解决一些几何与物理问题；
（7）知道散度、旋度的概念，并会计算。
重点：二重积分、三重积分、曲线积分、曲面积分的概念与计算方法，格林公式、高斯公式，平面曲线积分与路径无关的条件。
难点：重积分化为累次积分时积分上、下限的确定，第二型曲面积分的概念与计算。
三、建议学时分配
|
教学内容 |
讲课学时 |
小计 |
|
极限与连续 |
2 |
2 |
|
一元函数微分学 |
4 |
4 |
|
一元函数积分学 |
2 |
2 |
|
微分方程 |
2 |
2 |
|
无穷级数 |
6 |
6 |
|
空间解析几何 |
2 |
2 |
|
多元函数微分学 |
6 |
6 |
|
多元函数积分学 |
16 |
16 |
|
合计 |
40 |
40 |
课内外学时比：1:1.5
四、考核方式与成绩评定
考核方式:笔试闭卷
总评成绩 = 平时成绩 + 期末考试成绩
平时：期末 = 30：70
五、建议教材与教学参考书
《高等数学上》同济大学编 高等教育出版社 2002.7 第五版
《高等数学下》同济大学编 高等教育出版社 2002.7 第五版
《高等数学习题课教程》 黄安才陆伟民主编 机械工业出版社 2010.10
执笔人：郁大刚
审核人：郁大刚
